Image

Лінійне неявне різницеве рівняння 1-го порядку в деяких кільцях раціональних чисел

Навчальний заклад: Харківський ліцей 89 Харьківської міської ради Харківської області

Автор: Гуркіна Олена Михайлівна

Відділення: Математика

Секція: Математика

Область: Харківська

Опис:

Теорія неявних лінійних різницевих рівнянь з цілими коефіцієнтами була нещодавно побудована. Метою даної роботи було дослідити неявне лінійне різницеве рівняння 1-го порядку bx_(n+1)=x_n+f над деякими підкільцями поля раціональних чисел. Основними результатами дослідження є формулювання і доведення наступних теорем: Нехай числове кільце A має таку властивість: сума необоротних елементів кільця є необоротним елементом. Тоді рівняння bx_(n+1)=x_n+f має розв'язок для будь-якого f ∈ A. Нехай A–довільне підкільце поля раціональних чисел. Якщо b є необоротним елементом кільця A, то однорідне різницеве рівняння bx_(n+1)=x_n має тільки нульовий розв'язок над кільцем A. Нехай A=Z(p), b,f ∈ A і b є необоротним елементом кільця A. Тоді неоднорідне різницеве рівняння bx_(n+1)=x_n+f має єдиний розв'язок над кільцем A, причому цей розв'язок є сталим, f ділиться у кільці A на b – 1 та x_n=f/(b-1)для всіх n. Також у дослідженні встановлено зв'язок між розв'язком неоднорідного різницевого рівняння bx_(n+1)+f=x_n над кільцем p-цілих чисел і p-адичною геометричною прогресією та поставлена проблема про властивість неявного однорідного різницевого рівняння над довільним числовим кільцем.